Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

 

• Teorema 1: A + A = A

• Teorema 2: A · A = A

• Teorema 3: A + 0 = A

• Teorema 4: A · 1 = A

• Teorema 5: A · 0 = 0

• Teorema 6: A + 1 = 1

• Teorema 7: (A + B)' = A' · B'

• Teorema 8: (A · B)' = A' + B'

• Teorema 9: A + A · B = A

• Teorema 10: A · (A + B) = A

• Teorema 11: A + A'B = A + B

• Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'

• Teorema 13: AB + AB' = A

• Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'

• Teorema 15: A + A' = 1

• Teorema 16: A · A' = 0

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Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.

 

Características: Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:

 

1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.

2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1) 

 

PROPIEDADES:

• Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x

• Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx

• Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)

• Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz 

• Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)

• Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x

• Identidad respecto a la segunda función: x1 = x

• Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1

• Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

 

Propiedades Del Álgebra De Boole

1. Idempotente respecto a la primera función: x + x = x

2. Idempotente respecto a la segunda función: xx = x

3. Maximalidad del 1: x + 1 = 1Minimalidad del 0: x0 = 0

4. Involución: x'' = x

5. Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x

6. Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x

7. Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'

8. Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

 

Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.
Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.
Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.
Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas

Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND.

Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT.

 

Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B.

 

Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo.

 

La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, ésto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión:

 

A OR B
A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan
A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan
(A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan
(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND

 

Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe que es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.

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