Un conjunto E, en el que definimos una operación unitaria (.) y dos operaciones binarias (+) y ('), es un álgebra de Boole si se cumple:
 

Existen dos elementos O y 1 de E, tales que siendo x, y, z, elementos
cualesquiera de- E, se verifican los siguientes axiomas:

Al' x + y = y + a:
A,. (x + y) + z = x + (y + z).
As. x + x = x.
A.. .e + O = e.
As. x + 1 = 1.
A.. x + x· = 1.
A7 • x + (x . y) = x.
(A) As. x + (y . z) = (x + y; •(x + z).
A.. a: Y = Y . X.
Al o • (x· y) . z = x . (y . z).
An . X· x = x.
An . X· 1 = x.
Al 1• X· O = O.
AH' X· x· = O.
An . ro· (x + y) = e.
Aa. X· (y + z) = (x . y) + (..c • z).

 

Esta axiomática es muy larga; pero pueden elegirse otras axiomáticas con menos axiomas y equivalentes a ella. Las axiomáticas equivalentes a (A) más conocidas son las siguientes:

 

AXIOMÁTICA DE SIKORSKI
Al' x + y = y + x.
A.. (x + y) + z = x + (y + z).
As. X· (y + z) = (ro • l/) + (ro • z],

A.. x + (x o y) = X.
AG' Ix o x·) + y = y.
AG' X, Y = Y • X.
A7• (x· y) . z = x . (y • z).
Aa. X + Iy • z) = (x + y) . (x + z).
A.. X· (x + y) = x.
Aw (x + x·) . y = y.

AXIOMÁTICA DE HUNTINGTON-WALUSINSKI
Al' X + y = y + x.
A.o x + (y oz) = (x + !J) oIx + 1).
Aa- x + O = a:
A.. a: + »: = 1.
A 5' x > Y = Y . x.
A.. x· (y + z) = (.1: • y) + (:¡; . z},
,\" X· 1 = a:
'\.. t:» x· = O.

AXIOMÁTICA DE NEWMAN
Al' .L· (y + z) = (x . y) t- (x . z},
A.. (x + y) . z = (x . z) + (y z).
As. X· 1 = x.
A•. x + O = X.
A 5 • O + o: = ai.
A s- X· e" = O.
A ,. :1' + x· = 1.

Nosotros proponemos lo siguiente: Un conjunto E, en el que definimos una operación unitaria ( .) y dos
operaciones binarias (+) y ('), es un álgebra de Boole, si, Riendo e, y dos elemento'> cualesquiera de E, se detíne la operación (.) como:

x . y = (J'. + y')'
y se cumple:

Existe un elemento 1 de E, tal que siendo x, y, z elementos cualesquiera
de E, se verifican los sig-uientes axiomas:

B l . x + y = y + x.

B.. x + (y • x) = (x + y) • (x + z).
(B) B 3 • x + (x • y) = x.
B.. x + x· = 1.

Equivalencia de (A) y (B).
Llamando O a T" Y siendo e, y, z elementos cualesquiera ele E, se
verifica:
1. X· y = y. x


En efecto:
1 a a

X· Y = (X" + y")" = (y" + X")" = Y . X

1. Por definición de (').
2. Por B1 •
3. Por definición de (').
 

2. X· X· = O.
En efecto:
1 S a

X • X" = (X" + x"")" = 1" = O

1. Por definición de (').
2. Por B4 •
3. Por convenio.

3. X = »:",

En efecto:
1 a 3 4 a

X = X + (x· X") = X + O= X + (x" . x"") = (x + X") • (X + X"") =
6 7 8 a 1'(x t- x"") = (x" + x"") . (a: + x"") = (x" ·x) + X"" = 0+ e':"

1.
= (X" . x"") + x"" = x""
1. Por n;
2. Por 2.
3. Por 2.
4. Por Ba•
5. Por B 4 •
6. Por B4 •
7. Por Bs, B1 •
8. Por 2, l.
9. Por 2.
10. Por B1, 1, n;

4. (x· y)" = x" + y".

En efecto:
1 a

(x· y)" = (x" + y")"" = X" + y"

1. Por definición de (. \.
2. Por 3.

 

5. {ro+y)*=x*·y*.
En pfecto:
1 •
(ro + y)* = (x** + y**)* = 1'* • u'
1. Por 3.
2. Por definición de (').

6. :r. (y + z) = (I: • y) + (x . z).
En efecto:
1 2 8
x· (y + z) = (a:* + (y + z)*)* = (x* T (Y* . z*) )* = (('n* .+ q"~
4 5
• (x* + z*))* = (x* + y*)" + (x* + z*)" = (x· y) + (a:' z)
1. Por deürnción de (.).
2. Por 5.
3. Por Ba1.
Por 4.
5. Por defuur-íón de (.).

7. X· (x + y) = a,

En efecto:
1 2 2 4
X· (x -l- y) = (x* + (x + y)*)* = C:r* -l- tx: . yO) )* = x ' ~_ 1
1. Por definición de (.).
'2. Por 5.
3. Por Bs-
4. Por 3.

8. Ley de dualidad.

B 1 • x + y = lJ + x. 1.
B 2 • x + (q z) = (a: + y) . (x + z) 6.
B.. x + (x . y) = x. 7.
B 4 • a: + te" = 1. 2.
'n • q = lJ • X.
X • (y + z) = ' r • q) +
+ (x . r).
x . (x + lJ) = «:
x . x* = O.

Ya tenemos demostradas, entre otras, las igualdades 1, 6. 7, ~,parfíendo de las igualdades B" Ba- B., B4 , Y observamos que este grupo de ocho igualdades tiene la notable particularidad que de las igualdades Bl! B., B., B4 pasamos, respectivamente. a las igualdades 1, 6, 7.2 por el simple cambio dp (+) por (.). (.) por 1+) y 1 por O. Esta concordancia la conocemos romo dualidad. y por ella, a partir de ahora, demostrada una igualdad partícndo, como rstamos haciendo, de B1, B., Ba- B 4, quedaría demostrada la igualdad dual haciendo los respectivos paso" duales y partiendo de 1, G, 7, 2.

9. x + x = x
En efecto:
1. Por 7.
2. Por Ba•
1. Por Bs'
2. Por 7.
-2~ -
e r e = x.
1 2
X + x = x + (x (x + y) ) = X
I
1 2
X • X = X • (x + (x . y) ) = x

Observemos la dualidad en la demostración de la igualdad de la derecha. En adelante, solamente demostraremos una de ellas,

 

10. x + O = x .
En efecto:
1. Por B4 •
2. Por 7.

11. x + 1 = 1
En efecto:
1. Por 10.
2. Por 7, 1, B1 •
x·l = x.

1 2
X • 1 = x . (x + x*) = x
m > 0= O.
1 2
X + 1 = (x + 1) . 1 = 1
12. (x + y) + z = x + (y + z)
En efecto:
(x . y) . z = x . (y . x).
1 2
(x -¡- y) + z = ( (x + y) + z) • (x + x*) = ( ( (x + y) + z) . x) +
2 +(((x + y) + x) . x*) = ( ( (x + y) • x) + (x . x) ) + ({(x + y) •
4
. x*) + (z . x*) ) = (x + (z . x) ) + (((x· x*) + (y . x*)) +(z . x*) )
S 6 7 = X + ((y x*) + (z . x*) ) = x + ((y + z) . x*) = (x + (y + z) ) •
8
(x + x*) = x + (y + z)
1. Por 10, B1
2. Por 6.