Otras ejecuciones con dos niveles.
Las compuertas más encontradas son la NAND y la NOR. Algunas compuertas NAND y NOR (pero no todas) permiten la posibilidad la posibilidad de una conexión entre las salidas de las dos compuertas para producir una función lógica específica.

 

Este tipo de lógica se llama lógica de cableado.
La compuerta AND se dibuja con las líneas de atravesando la compuerta hasta el centro para distinguirla de una compuerta comercial.

 

La puerta AND cableada no es una compuerta física sino solamente un símbolo para designar la función obtenida de la función cableada que se indica.
F= (AB)´ (CD)´=(AB+CD)´
F=(AB+CD)´ 

F=[(A+B)(C+D)]

Se denomina función AND-OR inversor (o invertida).
De manera parecida a la salida NOR de las compuertas ECL se pueden unirse todas para conformar una función cableada OR. La función lógica ejecutada por el circuito es:

F=(A+B)´+(C+D)´=[(A+B)(C+D)]´

Formas no degeneradas.
Es instructivo desde el punto teórico encontrar cuantas combinaciones de compuertas de de dos niveles son posibles. Se consideran cuatro tipos de compuertas: AND, OR, NAND y NOR. Si se asigna un tipo de compuerta para el primer nivel y uno para el segundo se encuentra que existen 16 combinaciones posibles de forma de dos niveles.

Ocho de estas funciones se les llama formas degeneradas, esto se puede ver en un circuito de con compuertas Y en el primer nivel y una compuerta Y en el segundo nivel.

 

Las otras ocho formas no degeneradas producen formas de ejecución en suma de productos o producto de sumas. Las ocho formas no degeneradas son:

AND-OR OR-AND
NAND-NAND NOR-NOR
NOR-OR NAND-AND
OR-AND AND-OR

Simplificación de las funciones de boole.
La primera compuerta de la lista constituye del primer nivel de la ejecusion,la segunda compuerta es una sola compuerta colocada en el segundo nivel.
Las formas AND-OR y OR-AND son las formas básicas de dos niveles discutidas.
Ejecusion con AND-OR invertidas.

Las dos formas NAND-AND y AND-NOR son formas equivalentes deben de ser tratadas conjuntamente.las dos realizan la función AND-OR invertida de la manera que se mostrara en la próxima figura.la forma AND-NOR se parece a la forma AND-OR con una inversión hecha por un pequeño circuito a la salida de la compuerta NOR. Esta ejecuta la función:

F=(AB+CD+E)´

Usando en símbolo grafico alterno para la compuerta NOR se obtiene el diagrama de la figura que se mostrara. Sa tralada los circuitos del terminal de entrada de las compuertas del sugundo nivel a los terminales de la salida de las compuertas del primer nivel. Se nececita solamente un uiversor para que la sola variable mantenga el circulo. 

La ejecución con AND-OR invertida es parecida esepto por la inversión negada. Por tanto si el complemento de una función se simplifica en suma de productos (combinando a los ceros en el mapa), es posible ejecutar F´ con la parte AND-OR de la función.
Ejecución con OR-AND invertida.

Las formas OR-NAND y NOR-OR realiza la función OR-AND invertida como se muestran. La forma OR-NAND se parece a la forma OR-AND esepto por la inversión hecha por el circulo en la compuerta NAND.

F=[(A+B)(C+D)E]´

Mediante el uso de un símbolo grafico alterno para la compuerta NAND se obtiene el diagrama del segundo diagrama

El circuito en (C) se obtiene moviendo los círculos pequenños de las entrada de la compuerta de sugundo nivel a las salidas de las compuertas del primer nivel. El circito de la figura en una forma NOR-OR se muestra en la figura para ejecutar la función OR-AND invertida. 

La ejecución OR-AND invertida requiere una expresión en producto de sumas. Si el complemento de la función se simplifica un producto de sumas se ejecutan F´ con la parte OR-AND de la función. Una ves que F´ pase por la prte de inversión se obtiene el complemento de F´ ósea F a la salida.
Tabla sumario y ejemplo.

 

Debido a la parte de INVERCION, en cada caso es conveniente usar la simplificación F´ (el complemento) de la función en la forma. Cuando se ejecuta F´ en una de esas formas se obtiene el complemento en la forma AND-OR u OR-AND 

Notese que una NAND de una entrada o compuerta inversor se necesita para la ejecución con NAND-AND, paro en este caso AND-OR. El inversor puede eliminarse si se aplica una variable de la entrada Z´ en vez de Z.
Las formas OR-AND invertida requiere una exprecion simplificada del complemento de las funciones.

F=X´Y´Z´+XYZ´
En segida se toma el complento de la función:
F´=(X+Y+Z)(X´+Y´+Z)
La salida normal F puede ahora expresarse en la forma:

F=[(X+Y+Z)(X´+Y´+Z)]´

 

Simplificación de las funciones de Boole.

Paso 1: agrupar la representación binaria de los términos minimos de acuerdo al número de unos contenidos de manera mostrada en la siguiente tabla columna (a). esto se hace agrupando los términos minimos en cinco secciones separadas por las líneas orisontales.

 

La primera sección contiene el numero sin unos en el. La segunda sección contiene aquellos números que tiene solamente un uno. La tercera, cuarta y quinta sección contiene aquellos números binarios con dos, tres y cuatro unos respectivamente. Los decimales equivalentes de los términos minimos se colocan a todo lo largo de la para identificación.

Paso 2: cualquier par términos minimos que difieren entre si solamente por una variable, se puede combinar y las variables no aparecen eliminar.

 

Los términos minimos en una sección se compara con aquellos de la siguiente en adelante ya que dos términos que se diferencia en mas de un bit no se pueden aparear. El termino minimo de la primera sección se compara con cada uno de los tres términos minimos de la sugunda sección.

 

El termino resultante, conjuntamente con los equivalentes decimales, se listan en la columna (b) de la tabla. La variable eliminada durante el proceso de apareamiento se remplaza por un guion en su posición original. En este caso como m0 (0000)se conbina con m1 (0001)para formar (000-). Esta convinacion es equivalente a la operación algebraica:

m0+m1=w´x´y´z´+w´x´y´z=w´x´y´.

Paso 3: los términos de la columna (b) tienen solamente tres variables. Un 1 debajo de la variable significa que no es tildada, un cero significa que es tildaday un guion significa que no se incluye en el termino. 

El proceso de búsqueda y comparación se repite para los términos de la columna (b) para formar los dos términos variables de la columna (c). Nótese que el termino (000-) no se separa con cualquier otro termino. Por consiguiente, este no tendrá marca en su derecha.

 

Los equivalentes decimales se escriben a mano derecha de cada entrada para el propósito de identificación.
El proceso de comparación debe llevarse a cabo de nuevo en la columna (c) y en las columnas subsiguientes siempre y cuando se consiga el apareamiento adecuado.

Paso 4: los términos no marcados en la tabla forman los primeros implicados. En este ejemplo tenemos el termino w´x´y´ (000-) en la columna (b) y los términos x´z´ (-0-0) y wy (1-1-) en la columna (c). En cada termino de la columna (c) aparece dos veces en la tabla y cuando el termino forme un primer implicado es inecesario usar el termino dos veces. 

esto se debe a que cada termino marcado en la tabla se ha tenido por la tabla y cuando el termino más sencillo en la columna sbsecuente. Para el ejemplo presente, la suma de los primeros implicados dará la función minimizada en suma de productos: en la siguiente tabla se muestra por la tabla de esta función,

F=w´x´y´+x´z´+wy

En la mayoría de los casos de la suma de los primeros implicados no necesariamente forman la exprecion con el numero de minimo de términos.
La tediosa manipulación que se debe de hacer cuando se usa el método del tabulado se reduce si la comparación de hace con números decimales en ves de binarios.

 

Notece que en cada 1 en un numero binario representa el coeficiente multiplicado por una potencia de 2.
Por lo tanto,dos términos minimos se pueden combinar si el numero del primer termino minimo difiere por una potencia de 2 de un segundo numero mayor de la siguiente sección inferior de la tabla.

El proceso de comparar los términos minimos es como sigue: inspeccionese todo par de números decimales en secciones adyacentes de la tabla. El par de números transferidos ala columna (b) incluyen un tercer numero en paréntesis que designa la potencia de 2 por lo cual difiere los números.


Los primeros implicados son aquellos términos no marcados en la tabla. Son los mismos que los encontrados anteriormente con excepción que están dados en notación decimal. Para convertir la notación decimal abinaria conviertece a todos los números decimales en términos abinario y luego colóquese un guion en aquellas posiciones designadas por los números en paréntesis.

Los números de los términos minimos se comparan por el método decímal y se hacen parejas, si el numero de la sección inferior es mayor que la sección superior, si el numero de la sección inferior es mas pequeño que el de la superior no se tiene en cuenta la pareja aunque los números se difieren por una potencia de 2.

Hay solamente dos parejas de términos en la columna (b) las cuales darán el mismo termino de dos literales en la columna (c), los primeros implicados encontrados son: x´y´z,w´xz´,w´xy,xyz,wyz y wx´.

La suma de todos los primeros implicados dara una expresión algebraica valida para la función. Sin embargo esta expresión no es necesariamente lo que contiene el minimo numero de términos sus funciones minimizada:

 
F=x´y´z+w´xz´+xyz+wx´

Selección de los primeros implicados.
Forman la función minimizada se hace a partir de una tabla de primeros implicados se representa en una fila en cada termino minimo en una columna. Se colocan cruses en cada fila para mostrar la composición de los términos minimos kque constituyen los primeros emplicados.

 

Un minimo grupo de primeros implicados se escoje de manera que abarque de todos los términos minomos de la función.

La tabla completa de primeros implicados se inspeccionan para tener columnas que contengan solamente la cruz . este ejemplo hay 4 terminos minimos cuyas columnas tienen una sola cruz:1,4,8 y 10. 

Los primeros implicados que cubren los términos minimos con una sola cruz en su columna se llaman primeros implicados esenciales. Para permitir que la expresión final simplificada contengan todos los términos minimos no queda otra alternativa que incluir los primeros implicados esenciales.
 

Enseguida se observa cada columna cuyo termino minimo esta cubierto por los primeros implicados esenciales seleccionados. Por ejemplo el primer implicado seleccionado x´y´z cubre los termninos minimos 1y 9, entonces se coloca una marca en la parte inferior de las columnas.

 

En este ejemplo es claro que el primer implicado xyz cubre ambos términos minimos y es por tanto el seleccionado asi que se a encontrado el conjunto minimo de primeros implicados cuya suma de la función minimizada requirida: 
F=x´y´z+w´xz´+wx´+xyz.

En el proceso de tabulación puede adaptarse para dar una expresión sinplificada en productos de sumas.

 

Esta lista contiene aquellos términos minimos no incluidos en la función original, los cuales son numéricamente iguales a los términos máximos de la función. Obteniendo de nuevo el complemento se consiguen la expresión simplificada en producto de sumas.