3.2 EL MODELO DE PROGRAMACIÓN

El modelo de PL es una representación simbólica (abstracción) de la realidad que se estudia, se forma con expresiones lógicas matemáticas conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con máximo), al costo (con mínimo), al consumo de recurso (disponible con desigualdad <=), al recurso requerido (con desigualdad >=), recurso especificado (con igual = ). Contiene las siguientes cuatro partes:

1a parte

2a parte

3a parte

4a parte

Definición con el significado cuantitativo de las variables de decisión (controlables).

Función económica u objetivo a optimizar (máximo o bien mínimo):

Sujeta a restricciones:

Condición de no negativo a variables:

PROPIEDADES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Para que un modelo de PL sea válido, debe cumplir las propiedades siguientes:

Proporcionalidad.-Significa que la contribución al valor de la función objetivo y el consumo o requerimiento de los recursos utilizados, son proporcionales al valor de cada variable de decisión. Así el término 4X1 es proporcional, porque contribuye al valor de la función Z con 4, 8, 12, etc. para los valores 1, 2, 3, etc., respectivamente, de X1. Se puede observar el aumento constante y proporcional de 4 conforme crece el valor de X1. En contraste, el término no lineal 4X12, contribuye con 4, 16, 36, etc., para los mismos valores 1, 2, 3, etc., respectivamente, de la variable X1; Aquí se observa que el aumento en la contribución no es constante y por lo tanto no hay proporcionalidad.
Aditividad.- Significa que se puede valorar la función objetivo Z, así como también los recursos utilizados, sumando las contribuciones de cada uno de los términos que intervienen en la función Z y en las restricciones.
Divisibilidad.- Significa que las variables de decisión son continuas y por lo tanto son aceptados valores no enteros para ellas. La hipótesis de divisibilidad más la restricción de no negatividad, significa que las variables de decisión pueden tener cualquier valor que sea positivo o por lo menos igual a cero.
Certidumbre.- Significa que los parámetros o constantes son estimados con certeza, o sea, no interviene una función de probabilidad para obtenerlos

El modelo de programación lineal es un caso especial de la programación matemática, pues debe cumplir que, tanto la función objetivo como todas las funciones de restricción, sean lineales.

APLICACIONES TÍPICAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Aparentemente, las estructuras de organización complejas propias de la sociedad moderna han reconocido interesantes problemas de optimización tales como la manera más eficiente de manejar la economía de un país o también la mezcla de ingredientes de un fertilizante para satisfacer las especificaciones agrícolas a costo mínimo. Ambos problemas utilizan el modelo de programación lineal (PL), para optimizar una función lineal condicionada a restricciones lineales, que es sencillo en su estructura matemática, pero poderoso por su gran adaptación a una amplia variedad de problemas.

La programación lineal es una técnica matemática de resolución de problemas, su desarrollo representa una ayuda a los administradores para tomar decisiones en la asignación de recursos. A continuación aparecen algunas aplicaciones típicas de la PL:

Un fabricante desea desarrollar un programa de asignación en producción y una política de inventario que satisfagan la demanda de ventas de periodos futuros. Así se podría cumplir la demanda con mínimo costo total de producción y de inventario.
Un analista financiero debe seleccionar una cartera de inversiones a partir de una diversidad de alternativas en acciones y bonos. Se debe establecer la cartera que maximice el rendimiento sobre la inversión asignada.
Un administrador de mercadotecnia desea determinar la mejor manera de asignar un presupuesto de publicidad como radio, televisión, periódicos y revistas. Al gerente le gustaría determinar la combinación de medios que maximice la efectividad de la publicidad.
Una empresa tiene almacenes en varias. ubicaciones en todo el país. Para un conjunto de demandas de sus productos por parte de sus clientes, la empresa desearía determinar cuánto debe asignar en embarques a cada uno de los almacenes y a cada cliente, de manera que los costos totales de transporte resulten mínimos.

Estas aplicaciones representan unas cuantas situaciones en las que se ha utilizado con éxito la programación lineal, pero ilustran su potencial en la solución de problemas. Un estudio detallado revela las características comunes de ellas. En el ejemplo 1, el fabricante desea minimizar costos; en el 2, el analista financiero desea maximizar el rendimiento sobre la inversión; en el 3, el gerente de mercadotecnia desea maximizar la efectividad de la publicidad, y en el ejemplo 4, la empresa desea minimizar los costos totales de transporte. En todos los problemas de programación lineal, el objetivo es el máximo o bien el mínimo de alguna cantidad en la acción de asignar recursos.

Los problemas de programación lineal se caracterizan, además, por las condiciones impuestas o restricciones de recursos, que limitan el grado en que se puede cumplir algún objetivo. En el ejemplo 1, el fabricante está limitado por restricciones que requieren que la demanda de producto quede satisfecha y por restricciones respecto a la capacidad de producción. El problema de la cartera del analista financiero está limitado por la cantidad total de fondos de inversión disponibles y las cantidades máximas que se pueden invertir en cada acción o bono. La decisión en la selección de medios del gerente de mercadotecnia, está restringida por un presupuesto de publicidad fijo y por la disponibilidad de los varios medios. En el problema de transportación, el programa de embarques de costo mínimo está restringido al suministro de productos disponibles en cada almacén. La diversidad de condiciones mencionadas, es parte de lo que puede esperar aquel que decida enfrentar un problema, pues las restricciones son otra característica general en todo problema de programación lineal.